Aula 1:
Introdução à disciplina Sinais e Sistemas
SEL0604

Prof. Marcos Rogério Fernandes

5 de agosto de 2024

Objetivos

Os objetivos dessa aula são:

  • Apresentar a disciplina: estrutura e avaliação;
  • Introduzir conceitos básicos de sinais e sistemas;
  • Ilustrar as aplicações de sinais e sistemas com exemplos práticos;
  • Evidenciar a importância do estudo de sinais e sistemas para engenharia.
  • *Começar revisão de álgebra linear.

SEL0604 - Sinais e Sistemas

 

Dúvidas:

 

Contato: marofe@usp.br

SEL0604 - Sinais e Sistemas

 

Monitoria:

  • a definir...

    •  

Tópicos

  • Propriedades de sinais;
  • Representação de sinais no tempo;
  • Representação de sinais na frequência;
  • Series de Fourier e suas aplicações;
  • Transformada de Fourier e suas aplicações;
  • Filtragem de sinais;
  • Representação e Propriedades de sistemas;
  • Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (SLIT);
  • Transformada de Laplace e suas aplicações.

Material da disciplina

https://edisciplinas.usp.br/course/view.php?id=120851

 

  • Slides;
  • Notas de aula;
  • Listas de exercícios;
  • Vídeos relacionados aos tópicos;
  • Códigos, exemplos ilustrativos, etc...

Material da disciplina

Referências

 

  • [1] E.R. Martins. Essentials of Signals and Systems. Wiley, 2023.
  • [2] J.C. Geromel and G.S. Deaecto. Análise linear de sinais: teoria, ensaios práticos e exercícios. Editora Blucher, 2019.
  • [3] J.C. Geromel and A.G.B. Palhares. Análise linear de sistemas dinâmicos. Editora Blucher, 2019.
  • [4] Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, and S. Hamid Nawab. Signals & systems (2nd ed.). Prentice-Hall, Inc., USA, 1996.

Avaliação

 

Serão realizadas:

  • Três provas: $P_1$, $P_2$ e $P_3$;
  • Listas de exercícios: $L_1,L_2,L_3,\cdots,L_n$;
  • Ao final do semestre, um trabalho computacional $T$.

Avaliação

 

$\Rightarrow $Cada aula terá um conjunto de exercícios propostos;

$\Rightarrow $As provas serão baseadas nos exercícios propostos nas aulas;

$\Rightarrow $As listas $L_1, L_2, L_3,\cdots,L_n$ serão compostas por 5 dos exercícios propostos nas aulas (escolha livre);

$\Rightarrow$ As listas poderam se entregues em até 2 semanas após a respectiva aula no e-disciplina;

Avaliação

A média final é dada por:$$MF=0.6P+0.3L+0.1T$$

 

$$P=mean(P_1,P_2,P_3)$$ $$L=mean(L_1,L_2,L_3,\cdots,L_n)$$

Avaliação

 

 

Para aprovação, é necessário:
  • Ao menos $70\%$ de frequência, $MF\ge 5.0$.
  • Se $3.0\le MF < 5.0$, aluno ficará de recuperação.
  • Se $MF<3.0$ ou menos de $70\%$ de frequência o aluno é reprovado.

Dúvidas?

Introdução

O que é um sinal?

Sinal é tudo que carrega informação.

O que é um sistema?

Sistema é tudo que modifica um sinal.

 

 

Sistema é tudo que modifica um sinal.

 

Exemplos de sinais e sistemas

Telecomunicações

Telecomunicações

Internet

Indústria: variáveis de processo

Carros inteligentes

Corpo Humano

Corpo Humano

Mercado Financeiro

Objetivo principal do curso

 

Aprender propriedades que os sinais obdecem quando passam por uma classe especial de sistemas:

Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLIT)

Representação matemática

Função matemática $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

Os mesmos conceitos são validos para dimensões maiores
($\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^3$,...$\mathbb{R}^n$)

Função matemática $g:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$

Números complexos trazem benefícios na análise de sinais.

Número Complexo

$$z=a+jb$$

$j=\sqrt{-1}$

Exponencial Complexa

$$z=re^{j\omega t}$$

Fórmula de Euler

 

 

$$\Large e^{j\omega t}=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)$$

Classificações dos sinais

Tempo Contínuo vs Tempo Discreto

$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

Tempo Contínuo vs Tempo Discreto

$g:\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$

Determinístico vs Estocástico

Ex: Tensão e corrente de um circuito elétrico.

Determinístico vs Estocástico

Ex: mercado de ações, volume de chuvas, etc.

Propriedades dos sinais

Sinal de energia

$$\begin{equation} E=\int_{-\infty}^\infty g(t)^2dt < \infty \end{equation}$$

Sinal de energia

$$\begin{equation} E=\int_{-\infty}^\infty g(t)^2dt < \infty \end{equation}$$

Sinal de energia

$$\begin{equation} E=\int_{-\infty}^\infty g(t)^2dt < \infty \end{equation}$$

Sinal de energia

$$\begin{equation} E=\int_{-\infty}^\infty g(t)^2dt < \infty \end{equation}$$

 

Sinais de energia são utilizados para transmitir informação!

Sinal de potência

$$\begin{equation} P_\text{med}= \lim_{\tau\to\infty} \frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^\tau g(t)^2dt \end{equation}$$

Sinal de potência

$$\begin{equation} P_\text{med}= \lim_{\tau\to\infty} \frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^\tau g(t)^2dt \end{equation}$$

Sinal de potência

$$\begin{equation} P_\text{med}= \lim_{\tau\to\infty} \frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^\tau g(t)^2dt \end{equation}$$

Sinal de potência

$$\begin{equation} P_\text{med}= \lim_{\tau\to\infty} \frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^\tau g(t)^2dt \end{equation}$$

 

Sinais de potência são utilizados para fornecer energia para um sistema!

Energia vs Potência

$$\begin{equation} E=\int_{-\infty}^\infty g(t)^2dt \end{equation}$$ $$\begin{equation} P_\text{med}= \lim_{\tau\to\infty} \frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^\tau g(t)^2dt \end{equation}$$

Sinal de energia não pode ser sinal de potência e vice-versa

Sinal ímpar:

$$ g(t)=-g(-t),\quad \forall t\in\R $$

Sinal ímpar:

$$ g(t)=-g(-t),\quad \forall t\in\R $$

Sinal ímpar:

$$ g(t)=-g(-t),\quad \forall t\in\R $$

Sinal par:

$$ g(t)=g(-t),\quad \forall t\in\R $$

Sinal par:

$$ g(t)=g(-t),\quad \forall t\in\R $$

Sinal par:

$$ g(t)=g(-t),\quad \forall t\in\R $$

Todo sinal pode ser escrito como a soma da parte par com a ímpar

$$g(t)=g_p(t)+g_i(t)$$ em que $$\small\begin{align*} g_p(t)&=\frac{1}{2}(g(t)+g(-t))\\ g_i(t)&=\frac{1}{2}(g(t)-g(-t)) \end{align*}$$

Sinais especiais

 

  • Degrau Unitário;
  • Retângulo Unitário;
  • Sinc (seno normalizado);
  • Impulso Unitário;

Degrau unitário

$$ u(t)=\begin{cases} 1, \text{ se } t>0,\\ 0, \text{ se } t\le 0. \end{cases} $$

Retângulo unitário (Gate)

$$ G_T(t)=\begin{cases} 1, \text{ se } |t| < \frac{T}{2},\\ 0, \text{ caso contrário.} \end{cases} $$

Sinc (seno normalizado)

$$ \text{sinc}(x)=\begin{cases} 1, \text{ se } x=0,\\ \frac{\sin (x)}{x}, \text{caso contrário.} \end{cases} $$

Impulso unitário (Delta de Dirac)

$$ \delta(t)=\begin{cases}0,\quad \forall t\neq 0,\\ +\infty, \quad t=0.\end{cases}, \quad \int_{-\infty}^\infty \delta(t)dt = 1. $$

Impulso unitário (Aprox. Retângular)

$$ \lim_{T\to 0}\delta_T(t)=\lim_{T\to 0}\begin{cases} \frac{1}{T},\text{ se } |t|\le \frac{T}{2}\\ 0, \text{ caso contrário.} \end{cases} $$

Impulso unitário (Aprox. Retângular)

$$ \lim_{T\to 0}\delta_T(t)=\lim_{T\to 0}\begin{cases} \frac{1}{T},\text{ se } |t|\le \frac{T}{2}\\ 0, \text{ caso contrário.} \end{cases} $$

Impulso unitário (Aprox. Retângular)

$$ \lim_{T\to 0}\delta_T(t)=\lim_{T\to 0}\begin{cases} \frac{1}{T},\text{ se } |t|\le \frac{T}{2}\\ 0, \text{ caso contrário.} \end{cases} $$

Impulso unitário (Aprox. Retângular)

$$ \lim_{T\to 0}\delta_T(t)=\lim_{T\to 0}\begin{cases} \frac{1}{T},\text{ se } |t|\le \frac{T}{2}\\ 0, \text{ caso contrário.} \end{cases} $$

Impulso unitário "Derivada de $u(t)$"

$$ \delta(t)=\lim_{\epsilon\to 0^+} \frac{u(t)-u(t-\epsilon)}{\epsilon} $$

Impulso unitário "Derivada de $u(t)$"

$$ \delta(t)=\lim_{\epsilon\to 0^+} \frac{u(t)-u(t-\epsilon)}{\epsilon} $$

Impulso unitário "Derivada de $u(t)$"

$$ \delta(t)=\lim_{\epsilon\to 0^+} \frac{u(t)-u(t-\epsilon)}{\epsilon} $$

Impulso unitário "Derivada de $u(t)$"

$$ \delta(t)=\lim_{\epsilon\to 0^+} \frac{u(t)-u(t-\epsilon)}{\epsilon} $$

 

 

PARTE II

Revisão de Álgebra

Revisão de Álgebra Linear

O que é um vetor?

$$\vec{v}=\sum_{i=1}^n v_i \hat{e}_i\in V$$

$V$ é um espaço vetorial (ex: $\mathbb{R}^n$);

$E=\{\hat{e}_1,\ldots,\hat{e}_n\}$ é uma base de representação;

$\{v_1,\ldots,v_n\}$ são as coordenadas em relação a base $E$.

$$\vec{v}=v_1 \hat{e}_1+v_2 \hat{e}_2+v_3 \hat{e}_3$$
$$\vec{v}=v_1 \hat{e}_1+v_2 \hat{e}_2+v_3 \hat{e}_3$$
$$\vec{v}=v_1 \hat{e}_1+v_2 \hat{e}_2+v_3 \hat{e}_3$$
$$\vec{v}=v_1 \hat{e}_1+v_2 \hat{e}_2+v_3 \hat{e}_3$$
$$\vec{v}=v_1 \hat{e}_1+v_2 \hat{e}_2+v_3 \hat{e}_3$$
$$\vec{v}=\|\vec{v}\|\hat{a}_1$$
$$\vec{v}=\|\vec{v}\|\hat{a}_1$$

Revisão de Álgebra Linear

O que é um produto escalar?

  • Resultado é um Escalar: $$\langle \vec v, \vec w\rangle = c, \text{ com } c \text{ é um escalar.}$$
  • Linear pela direita: $$\langle \vec v, (\alpha \vec w_1 + \beta \vec w_2)\rangle = \alpha\langle \vec v,\vec w_1\rangle + \beta \langle \vec v,\vec w_2\rangle $$

Revisão de Álgebra Linear

O que é um produto escalar?

  • Comutação: $$\langle \vec v, \vec w\rangle = \langle\vec w, \vec v\rangle ^*$$

    • Consequência $\Rightarrow $ combinação linear pela esquerda: $$\langle (\alpha\vec v_1 + \beta \vec v_2), w\rangle = \alpha^*\langle\vec v_1,\vec w\rangle + \beta^* \langle \vec v_2,\vec w\rangle $$

Revisão de Álgebra Linear

Combinação linear direita/esquerda

Direita: $$\langle \vec v, (\alpha \vec w_1 + \beta \vec w_2)\rangle = \alpha\langle \vec v,\vec w_1\rangle + \beta \langle \vec v,\vec w_2\rangle $$ Esquerda: $$\langle (\alpha\vec v_1 + \beta \vec v_2), w\rangle = \alpha^*\langle\vec v_1,\vec w\rangle + \beta^* \langle \vec v_2,\vec w\rangle $$

Revisão de Álgebra Linear

O que é uma norma?

$$ \|\vec a-\vec b\|=\sqrt{\langle \vec a-\vec b, \vec a-\vec b\rangle} $$

Medida de distância dentro do espaço vetorial

$$ \|\vec v\|=\sqrt{\langle \vec v, \vec v\rangle} $$

Medida de tamanho de um vetor

$$ \|\vec v\|=\sqrt{\langle \vec v, \vec v\rangle} $$

Se $\|\vec v\|=1$ então $\vec v$ é dito ser vetor unitário e é denotado por $\hat{v}$.

Revisão de Álgebra Linear

O que é uma projeção?

$$ \langle \vec a, \vec b\rangle \rightarrow \text{medida de projeção} $$
$$ \text{proj}_{\vec b}~\vec a = \frac{\langle \vec a, \vec b\rangle^* }{\|\vec b\|^2} \vec b $$

Revisão de Álgebra Linear

O que é ortogonalidade?

$$ \vec a \perp \vec b \Leftrightarrow \text{proj}_{\vec b}~ \vec a=\vec 0 $$
$$ \vec a \perp \vec b \Leftrightarrow \langle \vec a, \vec b\rangle=0 $$

Revisão de Álgebra Linear

O que é uma base ortogonal?

$$\vec a_1 \perp \vec a_2 \perp \vec a_3 \cdots \perp \vec a_n$$

Revisão de Álgebra Linear

O que é uma base ortonormal?

$$\hat a_1 \perp \hat a_2 \perp \hat a_3 \cdots \perp \hat a_n$$

Revisão de Álgebra Linear

Representação de um vetor na base $A=\{\hat a_1,\cdots,\hat a_n\}$

$$ \vec v = \alpha_1\hat{a}_1+\alpha_2\hat a_2+\cdots +\alpha_n \hat a_n $$
$$ v^A = \begin{bmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{bmatrix} $$

Revisão de Álgebra Linear

Representação de um vetor na base $A=\{\hat a_1,\cdots,\hat a_n\}$

$$ \langle \hat a_i, \vec v\rangle = \langle \hat a_i, (\alpha_1\hat{a}_1+\alpha_2\hat a_2+\cdots +\alpha_n \hat a_n)\rangle $$
$$ = \alpha_1\langle \hat a_i, \hat{a}_1\rangle +\alpha_2\langle \hat a_i,\hat a_2\rangle +\cdots +\alpha_n \langle \hat a_i,\hat a_n\rangle $$
$$ = \alpha_i\langle \hat a_i, \hat{a}_i\rangle $$
$$ \Rightarrow\alpha_i = \langle \hat a_i, \vec v\rangle $$

Próxima aula

 

 

Continuação da revisão de álgebra linear

 

 

 

Até a próxima aula!