Função matemática $g:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$

Os mesmos conceitos são validos para dimensões maiores
($\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^3$,...$\mathbb{R}^n$)

Função matemática?

Operador que transforme um sinal em outro sinal!

Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)

EDO

$$y(t)=G\{x(t)\}$$

• Linearidade
• Invariância temporal;
• Memória;
• Causalidade;
• Estabilidade;

• Tempo contínuo ou tempo discreto;
• Linear ou Não-linear
• Escalar ou Multivariável;
• Determinísticos ou Estocástico;
• Caótico ou Não-Caótico;

Amostragem (Conversão Analógico-para-Digital)

$l\ddot{\theta}=-g\sin(\theta)-b\dot{\theta}+u$

$\ddot{y}+\alpha \dot{y}+\beta y = F$

• Satisfaz propriedade da superposição $\to$ linear
• Não-satisfaz propriedade da superposição $\to$ não-linear

Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLIT), causais, determinístico e não-caóticos.

EDO Lineares: $$\frac{d^n y}{dt^n}+\cdots+a_{n-1}\frac{dy}{dt}+a_ny=\frac{d^m x}{dt^m}+\cdots+b_{m-1}\frac{dx}{dt}+b_mx$$

Operador Derivadas: $$Dy=\frac{dy}{dt},\quad D^2y =\frac{d^2y}{dt^2}, \quad \ldots$$

EDO Lineares: $$D^n y+\cdots+a_{n-1}Dy+a_ny=D^m x+\cdots+b_{m-1}Dx+b_mx$$

EDO Lineares: $$(D^n +\cdots+a_{n-1}D+a_n)y=(D^m+\cdots+b_{m-1}D+b_m)x$$

EDO Lineares: $$P(D)y=N(D)x$$

EDO Lineares: $$\frac{d^n y}{dt^n}+\cdots+a_{n-1}\frac{dy}{dt}+a_ny=\frac{d^m x}{dt^m}+\cdots+b_{m-1}\frac{dx}{dt}+b_mx$$

Equação Algébrica no plano complexo: $$Y(\omega)=\underbrace{\frac{(j\omega)^m+\cdots+b_{m-1}j\omega+ b_m}{(j\omega)^n+\cdots+a_{n-1}j\omega+a_n}}_{G(\omega)}X(\omega)$$

Equação Algébrica no plano complexo: $$Y(\omega)=G(\omega)X(\omega)$$

Sinal de Saída: $$y(t)=g(t)\ast x(t)$$