Forma geral: $$ G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{s^m+\cdots+b_{m-1}s+ b_m}{s^n+\cdots+a_{n-1}s+a_n} $$

Forma ZPK: $$ G(s)=K\frac{s+b}{s+a}\frac{(s+z)(s+z^*)}{(s+p)(s+p^*)} $$

$$ G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=K $$

$$ G(j\omega)=\frac{Y(j\omega)}{X( j\omega)}=K $$

• Módulo?
• Fase?

$$ |G(j\omega)|_\text{dB}=20\log_{10}|G(j\omega)| $$

$$ |G(j\omega)|=10^{\frac{1}{20}|G(j\omega)|_\text{dB}} $$

$$ G(j\omega)=\frac{Y(j\omega)}{X( j\omega)}=K $$

• Qual o ganho do sistema em dB em função de $\omega$?
• Qual a fase do sistema em função de $\omega$?

$$ G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{1}{s+a} $$

$$ G(j\omega)=\frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)}=\frac{1}{j\omega+a} $$

$$ G(j\omega)=\frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)}=\frac{\frac{1}{a}}{j\frac{\omega}{a}+1} $$

$$ G(j\omega)=\frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)}=\frac{1}{j\frac{\omega}{a}+1} $$

• Qual o ganho do sistema em dB em função de $\omega$?
• Qual a fase do sistema em função de $\omega$?

$$ |G(j\omega)|_{dB}=-20\log_{10}|j\frac{\omega}{a}+1| $$

• 1° caso: $\omega < < a$
• 2° caso: $\omega > > a$
• 3° caso: $\omega=a$

1° caso: $\omega < < a$ $$ |G(j\omega)|_{dB}\approxeq-20\log_{10}|1|=0dB $$

1° caso: $\omega < < a$ $$ \angle G(j\omega)\approxeq \angle 1=0° $$

2° caso: $\omega > > a$ $$ |G(j\omega)|_{dB}\approxeq-20\log_{10}\Bigl|\frac{\omega}{a}\Bigl| $$

2° caso: $\omega > > a$ $$ \angle G(j\omega)\approxeq\angle -j\frac{a}{\omega}=-90° $$

3° caso: $\omega=a$ $$ |G(j\omega)|_{dB}=-20\log_{10}\sqrt{2}\approxeq -3dB $$

3° caso: $\omega > > a$ $$ \angle G(j\omega)=\angle \frac{1}{1+j}=-45° $$

$$ G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{1}{(s+a_1)(s+a_2)} $$ com $a_1< a_2$.

• Qual o ganho do sistema em dB em função de $\omega$?
• Qual a fase do sistema em função de $\omega$?

$$ G(j\omega )=\frac{1}{(j\omega+a_1)(j\omega+a_2)} $$

• Qual o ganho do sistema em dB em função de $\omega$?
• Qual a fase do sistema em função de $\omega$?

$$ G(j\omega )=\frac{\frac{1}{a_1a_2}}{(j\frac{\omega}{a_1}+1)(j\frac{\omega}{a_2}+1)} $$

• Qual o ganho do sistema em dB em função de $\omega$?
• Qual a fase do sistema em função de $\omega$?

$$ G(j\omega )=\frac{1}{(j\frac{\omega}{a_1}+1)(j\frac{\omega}{a_2}+1)} $$

• Qual o ganho do sistema em dB em função de $\omega$?
• Qual a fase do sistema em função de $\omega$?

$$ G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=s+b=\frac{1}{(s+b)^{-1}} $$

• Qual o ganho do sistema em dB em função de $\omega$?
• Qual a fase do sistema em função de $\omega$?

$$ G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{1}{s} $$

• Qual o ganho do sistema em dB em função de $\omega$?
• Qual a fase do sistema em função de $\omega$?

$$ G(j\omega)=\frac{1}{j\omega} $$

$$ G(j\omega)=j\omega $$

$$ G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{1}{(s+p)(s+p^*)} $$

Forma padrão: $$ G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s +\omega_n^2} $$

$$ G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{1}{(\frac{s}{\omega_n})^2+2\zeta(\frac{s}{\omega_n}) +1} $$

$$ G(j\omega)=\frac{1}{(\frac{j\omega}{\omega_n})^2+2\zeta(\frac{j\omega}{\omega_n}) +1} $$

• Qual o ganho do sistema em dB em função de $\omega$?
• Qual a fase do sistema em função de $\omega$?

$$ |G(j\omega)|_{dB}=-20\log_{10}\Bigl|(\frac{j\omega}{\omega_n})^2+2\zeta(\frac{j\omega}{\omega_n}) +1\Bigr| $$

• 1° caso: $\omega < < \omega_n$
• 2° caso: $\omega > > \omega_n$
• 3° caso: $\omega=\omega_n$

1° caso: $\omega < < \omega_n$ $$ |G(j\omega)|_{dB}\approxeq-20\log_{10}|1|=0dB $$

1° caso: $\omega < < \omega_n$ $$ \angle G(j\omega)\approxeq\angle 1=0° $$

2° caso: $\omega > > \omega_n$ $$ |G(j\omega)|_{dB}\approxeq-40\log_{10}\Bigl|\frac{\omega}{\omega_n}\Bigr| $$

2° caso: $\omega > >\omega_n$ $$ \angle G(j\omega)\approxeq -180° $$

3° caso: $\omega = \omega_n$ $$ |G(j\omega)|_{dB}=-20\log_{10}|2\zeta| $$

3° caso: $\omega = \omega_n$ $$ \angle G(j\omega)=-90° $$

$$ G(j\omega)=\frac{1}{((\frac{j\omega}{\omega_n})^2+2\zeta(\frac{j\omega}{\omega_n}) +1)^{-1}} $$

• Qual o ganho do sistema em dB em função de $\omega$?
• Qual a fase do sistema em função de $\omega$?

$$ |G(j\omega)|_{dB}=+20\log_{10}\Bigl|(\frac{j\omega}{\omega_n})^2+2\zeta(\frac{j\omega}{\omega_n}) +1\Bigr| $$

• 1° caso: $\omega < < \omega_n$
• 2° caso: $\omega > > \omega_n$
• 3° caso: $\omega=\omega_n$

$$ G(s)=5\frac{s+1}{s+2}\frac{1}{s^2+2s+4} $$

• Qual o ganho do sistema em dB em função de $\omega$?
• Qual a fase do sistema em função de $\omega$?

Diagrama de Blocos para SLIT

Até a próxima aula!